Mathematik ?

Es gibt aber nur sechs verschiedene Möglichkeiten, ein Pasch zu würfeln, sodass die Wahrscheinlichkeit eben 1/6 ist.

Bei drei Würfeln gäbe es auch nur 6 Möglichkeiten, auch hier ist die Wahrscheinlichkeit 1/6.

Alle Nicht-Pasch-Würfe sind zu ignorieren!

 

hmm.. die Wahrscheinlichkeit dass bei nem regulären Würfel zweimal hintereinander eine sechs kommt ist 1/36. Vollkommen richtig.

Die Wahrscheinlichkeit, dass zweimal hintereinander eine Zahl kommt, die nicht die sechs ist. 5/6 * 1/6 = 5/36.

Die Wahrscheinlich zu gewinnen ist also 1/5.

 

Aha, heißt also wie folgt:
die Wahrscheinlichkeit dass bei nem regulären Würfel eine sechs kommt ist 1/6. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine andere Zahl kommt, die nicht die sechs ist 5/6. Die Wahrscheinlich zu gewinnen ist also 1/5!?

Q.E.N.D.

 

also, 1:6 kann es schon mal nicht sein, wenn schon, dann 1:5.

bsp beim münzwurf: jede seite hat die wahrscheinlichkeit von 1:1
also im würfelfall: n (hier: 1) + q (hier: 5 andere wahrscheinlichkeiten) = N (hier 6), also die gesamtzahl aller möglichkeiten.

1:5 ist es aber auch nicht. ihr müsst bedenken, dass es unzählige möglichkeiten gibt, weil in diesem fall die reihenfolge zu beachten ist, die als faktor mit reinspielt. ganz vom "pasch-faktor" abgesehn, und das es "ziehen mit zurücklegen" ist.
würde es weder um pasche, noch um die reihenfolge gehen, sondern ganz einfach "wie oft wird die 6 gefürfelt, dann wäre es richtigmit 1:5, also 1/6.
dazu müsst ich die formeln rauskramen, die ich vor einigen semestern erfolgreich vergraben hab...

 

also , falls im n.ten Wurf eine "6" fällt , ist nur eine weitere "6" im direkt nächsten Wurf interessant ( um zu gewinnen )
Allerdings gilt das meiner Meinung nach auch für jede andere Zahl , die gerade im n.ten Wurf fällt, falls es z.B. eine "3" ist, verliert der Spieler mit der Wahrscheinlichkeit 1/6 , nämlich wenn unmittelbar darauf noch eine "3" gewürfelt wird. Jede andere Zahl verlängert einfach nur das Spiel , oder ??

unentschieden , Raimund

 

Hallo!

Ja. Das mit dem "zweimal hintereinander" ist übrigens vollkommen irrelevant, da bei allen Zahlen nur die zweimal unmittalbar hintereinander fallenden gewertet werden. Also kann man diese "Komplikation" einfach weglassen, womit sich das ganze Problem auf die Wahrscheinlichkeit reduziert, mit einem sechsseitigen Würfel eine sechs zu würfeln. Und die ist 1/6.

Grüße, Maximilian

 

Hallo liebe Miträtsler ,
ich fühle mich ja deswegen so verunsichert, weil als Tipp bei dieser Aufgabe steht, dass man die Summenformel für eine geometrische Reihe benutzen soll, und ein Baumdiagramm benötige ich auch nicht, wenn es wirklich so leicht ist. Ist eine Aufgabe in einem älteren Lehrbuch zu Stochastik für Leistungskurse am Gymnasium...

manchmal lässt mir sowas keine Ruhe , Gruß , Raimund

 

Hallo!

So wie Du die Aufgabe formuliert hast, kann da eigentlich kein Zweifel bestehen. Möglicherweise ist die originale Formulierung ja anders?

Übrigens hat es mir keine Ruhe gelassen und ich habe die Sache experimentalmathematisch angegangen (mit Zufallszahlen, als primitives Monte-Carlo-Problem). Als Ergebnis bekomme ich nach zehntausend "Spielen" wie zu erwarten 1/6:

Code:

 viele, viele Zahlen ...
1 1 5 1 3 3 4 1 4 5 1 1 5 6 5 5 1 3 5 2 2 3 4 3 4 3 5 3 6 4 6 1 3 5 3 4 5 6 5 5 6 4 2 5 1 3 6 4 1 2 3 6 2 4 6 4 3 6 1 1 2 2 6 6 1 5 4 1 5 3 2 4 4 5 6 3 1 3 2 2 4 5 2 1 2 5 2 6 3 4 6 4 1 5 6 6 5 6 4 6 1 6 4 1 6 5 2 3 2 1 3 1 3 6 6 3 2 2 4 5 6 4 1 1 5 4 5 3 2 6 4 6 5 5 5 2 1 1 1 6 3 5 3 1 4 1 3 2 5 4 3 2 6 2 1 1 4 2 2 6 2 1 2 4 1 1 1 3 2 1 4 3 4 4 1 5 6 1 1 4 1 5 2 1 5 1 2 4 4 4 3 2 1 2 5 1 6 3 3 3 2 3 4 5 1 5 5 6 6 5 2 5 2 5 2 3 5 3 3 6 3 2 2 2 4 3 2 5 5 6 4 1 3 4 2 6 2 4 6 4 2 2 4 4 2 4 3 3 1 4 3 3 3 2 1 1 1 2 4 6 6 1 2 5 1 2 4 1 1 4 6 4 1 4 3 4 6 4 1 5 1 1 
ngames = 10000
iwin   = 1692
ilose  = 8308
percentwin  = 0.169200

Grüße, Maximilian

PS: Wer es ausprobieren will: Den unten angegeben C-Quelltext im Home-Verzeichnis unter dem Namen "sechs.c" abspeichern, mit dem Kommando "cc -o sechs sechs.c -lm" vom Terminal aus kompilieren und mit "./sechs" ausführen.

Code:

#include <math.h>
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

int main (int argc, char *argv[])

{
  int iret;
  int izahl;
  int iwin;
  int ilose;
  int ilast;
  int ipasch;
  int ngames;
  int maxgames;
  double percentwin;

  iret     = 0;
  iwin     = 0;
  ilose    = 0;
  ipasch   = 0;
  ngames   = 0;
  maxgames = 10000;

  while (ngames < maxgames) {
    izahl  = 0;
    ilast  = 0;
    ipasch = 0;
    while (ipasch == 0) {
      izahl = 1 + rand() % 6;
      printf("%1d ", izahl);

      if (izahl == ilast) {
        ipasch = 1;
        ngames++;
        if (izahl == 6) {
          iwin += 1;
        }
        else {
          ilose += 1;
        }
      } /* if izahl == ilast */
      else {
        ilast = izahl;
      }
    } /* end while ipasch */
  } /* end while ngames */

  printf("\n");
  printf("ngames = %d\n", ngames);
  printf("iwin   = %d\n", iwin);
  printf("ilose  = %d\n", ilose);

  percentwin = (double) iwin / (double) ngames;
  printf("percentwin  = %f\n", percentwin);

  return iret;
}

 

Hallo maximilian, "waiting for access" und andere Mitüberleger ,

Danke für eure Anstrengungen, ich hoffe, ich darf den Originaltext der Aufgabe hier zitieren ( hoff´ich jetzt einfach mal ) , um evtl. Mißverständnisse zu beseitigen :

Ein Spieler wirft einen idealen Würfel so lange , bis entweder die Sechs oder von den Augenzahlen 1 ;2 ;3 ;4 ;5 zweimal hintereinander diesselbe Zahl gefallen ist. Im ersten Fall gewinnt er , im zweiten verliert er . Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt der Spieler ?
( Anleitung : Verwende die Summenformel einer unendlichen geometrischen Reihe . )

aus : Lambacher Schweizer , Stochastik , Leistungskurs , 1.Auflage 1991 ( Klett - Verlag )

Bis bald , Raimund

 

Hallo nochmal, jetzt hab´ich´s auch mit der geometrischen Reihe kapiert ! Am Ergebnis ( Wahrscheinlichkeit für Gewinn * 1/6 ) ändert sich nichts :

Also , es könnte ja sofort der erste und zweite Wurf zum Gewinn führen, dafür ist die Wahrscheinlichkeit 1/6 * 1/6
es könnte aber auch erst einmal eine der Zahlen 1 bis 5 fallen und danach : "6" und danach "6" , Wahrscheinlichkeit dafür : 5/6 * 1/6*1/6 ,
es könnten aber auch die ersten beiden Würfe Zahlen aus 1 bis 5 ergeben und danach erst 6 und nochmal 6 , Wahrscheinlichkeit dafür : 5/6 * 5/6 * 1/6*1/6

wenn erst 7-mal Zahlen 1 bis 5 gewürfelt werden und dann erst der Siegerpasch 6 und 6 , dann ist dafür die Wahrscheinlichkeit (5/6)hoch 7 * (1/6)hoch 2

Theoretisch kannes unendlich lang dauern, bis endlich das erlösende "6 ; 6 " gewürfelt wird

Die Wahrscheinlichkeit für Gewinn ergibt sich also aus ( (5/6)hoch Null + (5/6)hoch Eins +(5/6)hoch Zwei +....) *(1/6)hoch Zwei und das ist mit der Formel für die geometrische Reihe : (1/(1-(5/6))*(1/6)hoch Zwei = 1/6

also , ich bin jetzt zufriedener als vorher , und ich hoffe, keiner ist genervt .

Bis denne , Raimund

 

Hallo!

"Zufriedener als vorher" ist immer gut Wobei das mit der geometrischen Reihe hier wirklich einer aus der Serie "warum einfach, wenn's kompliziert auch geht?" ist... Wie oben schon gesagt: Kurze Überlegung führt zum Ergebnis, daß die Sache mit der doppelten sechs hier irrelevant ist.

Grüße, Maximilian

 

Hallo Maximilian, schön von dir so prompt zu hören

Die Betrachtung über die geometrische Reihe ist aber doch notwendig und nur als einzige dem Problem angemessen :

Variiere das Spiel :Ein Spieler wirft eine ideale Münze , er gewinnt, wenn zum erstenmal "Zahl , Zahl" erscheint , bei "Wappen , Wappen" verliert er.

Die Wahrscheinlichkeit für " Zahl , Zahl " ist ein Viertel , aber natürlich ist bei diesem Spiel die Gewinnchance 1/2 ,was sich mit der Lösung mittels geometrischer Reihe auch nachrechnen lässt.

Es ist also ein Zufall, dass die ( unzureichende ) Lösung für das Würfelspiel zum gleichen Ergebnis kommt, wie die Betrachtung des gesamten, unendlich langen Baumdiagramms mittels geometrischer Reihe !

Gute Nacht , Raimund

 

Eigentlich nicht unendlich, sondern endlich, da Du in der Aufgabenstellung stehen hast, sobald zweimal eine andere Zahl als die sechs kommt, hat der Spieler verloren.

Wenn er alle Wurfmöglichkeiten von eins bis sechs gespielt hatte ohne dabei einen doppelten Wurf zu haben, hat er eine Chance auf Gewinnen oder Verlieren. Dies kann schon nach dem zweiten Wurf der Fall sein. Oder beim siebten Wurf.

 

Raimund hat recht:

--- Bei 2 Würfen ist 1 Fall von 36 möglichen günstig = Gewinnwahrscheinlichkeit 1/36
--- Bei 2 Würfen sind 5 Fälle von 36 möglichen ungünstig = Verlustwahrscheinlichkeit 5/36
--- Bei 2 Würfen sind 30 Fälle von 36 möglichen unentschieden; daraus ergibt sich die geometrische Reihe mit 30/36 = 5/6 als Faktor

Es kann tatsächlich unendlich lange dauern, bis Gewinn oder Verlust entschieden ist.

Aber wer spielt schon ein so ungünstiges Spiel?
Anfangs hat man eine Wahrscheinlichkeit von 1/36 zu gewinnen, bei jedem weiteren Wurf, bei dem man nicht verloren hat, hat man wieder eine Chance. Alle diese kleinen Chancen summieren sich ein bisschen und man nähert sich schließlich der horrenden Gesamtgewinnwahrscheinlichkeit von 1/6, falls man unendlich oft würfelt.

Aber es ist wirklich ein interessantes Problem für Lernende, um die Vorteile von Definitionen zu würdigen.

Ja. Doch, genau so.

Ja, so ist es, aber es gibt ja noch die 30 unentschiedenen Fälle, die zu Gewinn oder Verlust führen können.
Gewinnwahrscheinlichkeit deshalb: 1/36 + 30/36 * 1/36 + … - wie Raimund ja schon richtig gesagt hat.